【簡易版】角運動量の合成とクレブシュゴルダン係数
角運動量の合成に関して詳しく述べると長くなってしまうので、ここでは角運動量の合成のやり方を、面倒な理屈はできるだけハショッて解説します。
詳しい解説はこちら。
角運動量の合成とはなにか
そもそも角運動量の合成とは何かから入らなくてはいけません。これについて述べてなくて面白みのない無機質な論を展開している教科書ばかりでバカなのか？と思って僕は怒っています。
角運動量の合成とは。
合成というからには、２つ以上の粒子があって、それらが１つの複合粒子をなしているものの角運動量を扱うということですが、(あるいはもう一つ、水素原子の周りをまわる電子の、軌道角運動量とスピンの合成、といった場合もありますが)
まず \(|a, b\rangle \) はスピンの状態ベクトルで、\(|j,\ m\rangle \) や \(|j1,\ m1\rangle \)、\(|j2,\ m2\rangle \) のことを表しています。２つの粒子を \( A \) , \( B \) で表し、\( j \) は複合粒子のスピン、\( j1 \) は 粒子 \( A \) の、\( j2 \) は粒子 \( B \) のそれです。\( m, m1, m2 \) はスピンの \( z \) 成分です。
スピンの合成というと、どうしても２つの粒子が相互作用を考えてくなりますが、そうすると古典的な角運動量の保存のことをどうしても考えたくなります。しかし、ここで考えることは、相互作用うんぬんというのとはちょっと違います。量子力学の世界では、２つの粒子が例えば地球と火星がすれ違うとしてそういう風に直接接触して角運動量をやりとりするという描像ではなく、４つの力によって、例えばその中の電磁波などにより離れて相互作用が働くというようなことを考えますし(こんな相互作用の描像なんて角運動量の合成では普通考えたりしませんけれども)、そして粒子の種類によって決まっているスピンの値も変化したりしません※。\( j1 や j2 \) は一定です。そんな中で、あいまいな相互作用の部分に気を取られずに、２つの角運動量が１つになったものを観測したらどうなる、という部分だけに集中して混乱を避けてみてください。※ スピンの z 方向成分 \( m1, m2 \) は変化します！\( j1, j2 \) は、言ってみれば 全スピンの大きさ です。また、例えば電子のスピンは 1/2 (粒子1 を電子としたら j1 が j1=1/2 ということ) などのように決まった値を持っているのです。
なお、本記事では スピン \( (1/2) \hbar \) を単に \( 1/2 \) のようにあらわします。すなわち、\( \hbar \) を省略します。
さて、気を取り直して、
２つの、スピン \( 5/2 \) の粒子 \( A \), \( B \) があり、\( A \) の状態が \(|5/2,\ 3/2\rangle \)、\( B \) の状態が \(|5/2,\ 5/2\rangle \) であるとします。この２つの粒子がくっついて一つの粒子となった複合粒子を観測すると、どのようなスピンの状態が観測されるでしょうか。スピンを測定するような観測は、その複合粒子を磁場の中を通すなりすれば行うことができます。２つの粒子がくっついて一つの粒子となったときのスピンの状態は、\( |5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B \) と表されますが、答えから先に言うと、角運動量の合成の計算の結果から、
\[ |5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B = \frac{1}{\sqrt{2}}(|5,\ 4\rangle – |4,\ 4\rangle) \]
となり、これはつまり、複合粒子のスピンに関して、スピンが \( 5 \) で その\( z \) 方向成分が \( 4 \) として観測される場合と、スピンが \( 4 \) でその \( z \) 方向成分が \( 4 \) として観測される場合が等確率ある、という結果となります。２つの観測結果では全角運動量が異なってしまっています。
角運動量の合成は 2 つ(またはそれ以上)の粒子のそれぞれの スピンの大きさ \( j1, j2 \) によって結果が異なってくるのですが、上記の結果のほかに、
\begin{eqnarray*} |5,\ 4\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(&|&5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B \\ + &|&5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 3/2\rangle_B ) \end{eqnarray*}
のような結果も得られます。こちらももちろん２つの粒子が一つの粒子をなしていてその複合粒子を観測する場合ですが、こちらは、複合粒子のスピンの状態が、スピンの大きさ \( 5 \)、\( z \) 成分 \( 4 \) として観測されたなら、それぞれの粒子は、\( A \) が \(|5/2,\ 3/2\rangle \) でかつ \( B \) が \(|5/2,\ 5/2\rangle \) か、または \( A \) が \(|5/2,\ 5/2\rangle \) でかつ \( B \) が \(|5/2,\ 3/2\rangle \) かの、どちらかで、２つの場合は等確率である、という解釈になります。
特に、素粒子物理学では 複合粒子を構成しているそれぞれの粒子について調べたりするので、複合粒子のスピンの状態から構成粒子のスピンの情報が制限できたりすることは非常に有用です。
また、角運動量の合成は、２つの粒子が角運動量をやり取りする中での角運動量の相互作用や、角運動量保存に関するようなものとは少し違います。
また、例えば、\(|4,\ 3\rangle \) が得たい場合でも、\(|5,\ 5\rangle \) から \(|5,\ 4\rangle \to |4,\ 4\rangle \to |4,\ 3\rangle \) のように適切な順序を追って順次計算して求めなければならないものです。
角運動量合成の計算
ということで、角運動量の合成、\begin{eqnarray*} |5,\ 4\rangle = \frac{1}{\sqrt{2} }(&|&5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B \\ + &|&5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 3/2\rangle_B \end{eqnarray*} のような結果を得るにはどう計算したらいいのかを解説します。
２つの粒子は、これまでの説明と同じものを使います。すなわち、\( A \) も \( B \) もスピン \( 5/2 \) の粒子です。
ではいきましょう。厳密な説明はしません。
まず、\( |5,\ 5\rangle = |5/2,\ 5/2\rangle_A|5/2,\ 5/2\rangle_B \) となることは理解できるでしょうか。２つ粒子のスピンが両方とも \( z \) 方向を向いていることが確定している場合で、この場合は、複合粒子のスピンは \(|5/2+5/2,\ 5/2+5/2\rangle=|5,\ 5\rangle \) として観測されるでしょう。
この \( |5,\ 5\rangle=|5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B \) に \( j_z \) の下降演算子 \( j^- = j1^- + j2^- \) をかけて(作用させて)いきます。\( j^- = j1^- + j2^- \) になるのがどうしてかも説明しませんが、一応これは \( j = j1 + j2 \) から来ています。\( j^- \) も \( j1^- \) も \( j2^- \) も、それそれの粒子の スピンの \( z \) 成分つまり、\( m, m1, m2 \) を１つ減らす働きをします。\( m, m1, m2 \) とは、\(|j,\ m\rangle = |j1,\ m1\rangle_A |j2,\ m2\rangle_B \) の中のそれです。
\( j^- = j1^- + j2^- \) を次々作用させると、\( |5,\ 5\rangle \sim |5,\ -5\rangle \) まで \( 5 \times 2 + 1 = 11 \) 個の状態が得られます。
最初だけ計算してみせると、\begin{eqnarray*} j^-|5,\ 5\rangle &=& (j1^- + j2^- )|5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle \\ &=& j1^- |5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B + j2^- |5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B \\ \\ |5,\ \color{magenta}{4}\rangle &=& |5/2,\ \color{magenta}{3/2}\rangle_A|5/2,\ 5/2\rangle_B + |5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ \color{magenta}{3/2}\rangle_B \end{eqnarray*} となります。色がついているところは、\( m, m1, m2 \)が変化して 1 だけ減った様子です。結果は、
\begin{eqnarray*} |5,\ 5\rangle &=& |5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle \\ |5,\ 4\rangle &=& |5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B + |5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 3/2\rangle_B \\ |5,\ 3\rangle&=&|5/2,\ 1/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B + 2|5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 3/2\rangle_B \\ &+& |5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 1/2\rangle_B \\ &…& \\ &…& \\ |5,\ -4\rangle &=& … \\ |5,\ -5\rangle &=& … \end{eqnarray*}
となります。そして、それぞれを、それぞれの状態が観測される確率のすべての合計が 1 であるとして、規格化してください。
\begin{eqnarray*} |5,\ 5\rangle &=& |5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle \\ |5,\ 4\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}}|5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B + \frac{1}{\sqrt{2}}|5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 3/2\rangle_B \\ |5,\ 3\rangle&=& \frac{1}{\sqrt{6}}|5/2,\ 1/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B + \frac{2}{\sqrt{6}}|5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 3/2\rangle_B \\ &+& \frac{1}{\sqrt{6}}|5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 1/2\rangle_B \end{eqnarray*}
はい。\( j=5 \) の \( 11 \) 個の状態の計算は済みました。次に、\(|4,\ 4\rangle \) がわかれば、今と同じように下降演算子をつかって この \( j=4 \) の列を求めることができますが、\(|4,\ 4\rangle \) を求めるにはどうしたらいいでしょうか。
答えは、\(|4,\ 4\rangle \) は \(|5,\ 4\rangle \) に直交する状態として求めます。
\begin{eqnarray*} |5,\ 4\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}} |5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B \\ &+& \frac{1}{\sqrt{2}} |5/2,\ 5/2\rangle_A|5/2,\ 3/2\rangle_B \ \ \ (係数 \frac{1}{\sqrt{2}} がなくてもいいですが) \end{eqnarray*}
だったから、これを、\[ \frac{1}{\sqrt{2}} |5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B = e_1 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} |5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2, 3/2\rangle_B = e_2 \] として、\( |5,\ 4\rangle = e_1 + e_2 \) と書けば、それに直交する状態として、ベクトル代数の計算により、
\begin{eqnarray*} |4,\ 4\rangle &=& e_1\ – \ e_2 \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} |5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B – \frac{1}{\sqrt{2}} |5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 3/2\rangle_B \end{eqnarray*}
となります。簡単に解説すると、そもそも \(|5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B \) や、\(|5/2,\ 5/2\rangle_A |5/2,\ 3/2\rangle_B \)、つまり、\( |j1, \ m1\rangle_A |j2, m2\rangle_B \) は、\( -j1(j2) \le m1(m2) \le j1(j2) \) により、\(|j1,\ m1\rangle_A \) が \( 2j1+1 \) 個、\( |j2,\ m2\rangle_B \) は \( 2j2+1 \) 個あるので、\( (2j1+1)(2j2+1) \) 個あり、一つ一つが排他的に独立に観測されるスピン状態の空間の基底ベクトルなのです。
また、スピン状態の空間の基底は \( |j1,\ m1\rangle_A |j2,\ m2\rangle_B \) だけでなく \(|j,\ m\rangle \) も採用することができ、先に求めた \( |5,\ 5\rangle, |5,\ 4\rangle, |5,\ 3\rangle \) もそれぞれ別の形の基底ベクトルです。
全スピン状態の中の \( m=4 \) の状態の部分空間(要は角運動量の \( z \) 成分 \( m \) が \( 4 \) であるような状態の集まり)は、基底 \(|j,\ m\rangle \) において \( m \) が \( 4 \) であるような \( j, m \) の組み合わせが、\( |5,\ 4\rangle \) と \( |4,\ 4\rangle \) しかないことからもわかるように、２次元なのです。だから \( m=4\) の部分空間の、一つの基底 \( |5,\ 4\rangle \) に直交するもう一つの基底として \( |4,\ 4\rangle \) を求めることができるのです。(説明としてはちょっとずるをしています。ご容赦)
また、全スピン状態の中の \( m = 3 \) の状態の部分空間の次元は 3 (\(|5,\ 3\rangle, |4,\ 3\rangle, |3,\ 3\rangle \) の３つの基底(\(m=3\) である可能な \(j, m\) の組み合わせはこれしかない)) , \( m=2 \) は 4次元(\(|5,\ 2\rangle, |4,\ 2\rangle, |3,\ 2\rangle, |2,\ 2\rangle \) の４つの基底)、となっています。
こうして得られた \( |4,\ 4\rangle \) に下降演算子を作用させて、 \( 4 \times 2 + 1 = 9 \) 個の、\(|4,\ 3\rangle, |4,\ 2\rangle, |4,\ 1\rangle … |4,\ -4\rangle \) を得ることができます。そうすると、次は \(|3,\ 3\rangle \) を求めたいのですが、これは、先に述べたように、\( m=3 \) の部分空間の次元は 3 であって、その部分空間の３つの基底のうち 2 つ、つまり \(|5,\ 3\rangle, |4,\ 3\rangle \) は今までで求めているので、それらに直交する状態ベクトルとして、\(|3,\ 3\rangle \) を求めることができるのです。ちょっとわかりやすさのために \( 4,\ 3 \) という数字を使いますが、だいたい計算は、\(|4,\ 3\rangle \) に直交するものを単に求めれば済むようなことも多くて、\(|4,\ 3\rangle \) に直交するものを求めようとしても任意性により定まらない場合に、\(|5,\ 3\rangle \) にも直交するという条件を用いて \(|3,\ 3\rangle \) を決定する、という計算過程を経ます。
このようにして次々、下降演算子の作業と、直交するものを求めるということを繰り返し、すべての、\(|j,\ m\rangle \) を求めることができます。
次元の話は厳密でないし、\(|j, m\rangle \) の数と \(|j1,\ m1\rangle_A |j2,\ m2\rangle_B \) の数 \( (2j1+1)(2j2+1) \) が一致することも自明ではなく証明が必要なことですが、詳しくはこちらを参照してください。
こうして網羅的に計算した結果、
\[|j,\ m\rangle = \Sigma C_{j1,m1,j2,m2}^{j, m} |j1,\ m1\rangle_A |j2,\ m2\rangle_B \] と表すことができ、この \( C_{j1,m1,j2,m2}^{j, m} \) のことをクレブシュゴルダン係数、といいます。\( \Sigma C_{j1,m1,j2,m2}^{j, m} |j1,\ m1\rangle_A |j2,\ m2\rangle_B \) の表式は、よくあるように 係数による項の展開だから煩雑になるように思えるかもしれませんが、上で求めてきたことからもわかるように、関係のない \( |j1,\ m1\rangle_A |j2,\ m2\rangle_B \) の係数は すべて 0 となるので、それほど複雑ではありません。上で具体的に例として計算した中の、\( \frac{1}{\sqrt{2}} \) や \( \frac{2}{\sqrt{6}} \) がクレブシュゴルダン係数なのです。
また、これらの \( |j,\ m\rangle \) の展開の結果から、冒頭でも紹介したように \( |j1,\ m1\rangle_A |j2,\ m2\rangle_B \) を \(|j,\ m\rangle \) で表すこともできます。\(|j,\ m\rangle = \Sigma C_{j1,m1,j2,m2}^{j, m} |j1,\ m1\rangle_A |j2,\ m2\rangle_B \) を連立方程式と見て、\( |j1,\ m1\rangle_A |j2,\ m2\rangle_B \) について解けばいいのです。これも、関係のある数個の方程式をもってきて逆算すればいいだけのことで、煩雑にはなりません。例えば、上で計算した \( |5,\ 4\rangle \) と \( |4,\ 4\rangle \) とから、\( |5/2,\ 3/2\rangle_A |5/2,\ 5/2\rangle_B \) を求めることができるので、やってみるといいでしょう。
また、こちらも、\( |j1, m1\rangle_A |j2, m2\rangle_B = \Sigma C’\ _{j,m}^{j1,m1,j2,m2} |j,\ m\rangle \) のように書けるでしょう。この \( C_{j1,m1,j2,m2}^{j, m} \) や、\( C’\ _{j,m}^{j1,m1,j2,m2} \) の上や下の添え字の形は僕が今勝手に決めました。一般的なものかどうかはわかりません。
\( |j,\ m\rangle = \Sigma \langle j1,\ m1,\ j2,\ m2|j,\ m\rangle |j1,\ m1,\ j2,\ m2\rangle \) と書いたりもします。\( |j,\ m\rangle = \Sigma C_{j1,m1,j2,m2}^{j, m} |j1,\ m1,\ j2,\ m2 \rangle \) とすれば、\( C_{j1,m1,j2,m2}^{j, m} = \langle j1,\ m1,\ j2,\ m2|j,\ m \rangle \) だからです。ただし、\( |j1,\ m1,\ j2,\ m2\rangle = |j1,\ m1\rangle_A |j2,\ m2\rangle_B \)
クレブシュゴルダン係数を略して CG係数と書きます。C(lebsch)-G(ordan)係数。
以上が、角運動量の合成と、クレブシュゴルダン係数(CG係数)の簡易的解説でした。
おまけ：既約分解のやつ
\[ (2j1+1)(2j2+1) = \{ 2(j1+j2) +1 \} + \{ 2(j1+j2-1) +1 \} + … + 1 \]
２つの粒子のスピンがともに \( 5/2 \) である場合。
\begin{eqnarray*} 6 \times 6 &=& 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 36 (!!) \\ \\ 6 \otimes 6 &=& 11 \oplus 9 \oplus 7 \oplus 5 \oplus 3 \oplus 1 \end{eqnarray*}